La diversificación reduce el riesgo financiero

Puede descargar el archivo de Excel: reaseguro.xlsx

En finanzas representamos el riesgo por la varianza σ² o su raíz cuadrada, la desviación estándar σ.

Supongamos dos carteras A y B que proporcionan una cierta rentabilidad en términos esperados del 10% cada una de ellas, y donde ambas tienen el mismo riesgo expresado por una desviación estándar de 0,4 o lo que es lo mismo expresado en porcentaje, del 40%. Vamos a simular mediante una distribución normal inversa las posibles rentabilidades. En principio vamos a generar 5.000 valores para cada cartera. Lo ideal sería generar muchos más si lo soportan la memoria RAM y la capacidad de cálculo de nuestro computador.

La celda B5 tiene la siguiente fórmula que usa la distribución normal inversa.

=INV.NORM(ALEATORIO();$H$7;$H$9)

Suponemos que las rentabilidades de las carteras A y B no están correlacionadas por pertenecer a activos y mercados muy diferentes. Observe que en la celda H11 se obtiene una correlación cercana a cero, ya que la función usada en Excel para generar las rentabilidades esta arrojando valores aleatorios que siguen una distribución normal, siendo la campana de Gauss de la cartera A y B independientes entre si.

Vamos a realizar un intercambio de carteras de forma que la cartera A pasará a convertirse en la cartera A', y la cartera B se convertirá en la cartera B'.

Tanto la cartera A' como B' se forman realizando una mezcla al 50% de las carteras anteriores A y B. De esta forma, la cartera A' estará formada por un 50% de sus propios activos A, más otro 50% de los activos de la cartera B. Sucediendo lo mismo en la formación de la cartera B' que también estará formada por 0,5A+0,5B.

Veamos que la esperanza matemática o media de rentabilidades esperadas μ se comporta de forma lineal ya que la media es una magnitud lineal, proporcional. De esta forma podemos expresar la esperanza de las nuevas carteras A' y B' con las siguientes ecuaciones.

El valor 1/2 hace referencia al 50%, que en tanto por uno es 0,5, ya que estamos suponiendo que las nuevas carteras A' y B' participan en un 50% de las viejas carteras A y B.

Otra forma de interpretarlo sería suponer carteras de dos compañías de seguros con la misma esperanza de rentabilidad (10%), la misma desviación estándar (40%) y totalmente incorrelacionadas. Estas compañías de seguros deciden efectuar un reaseguro mutuo intercambiando el 50% de sus carteras con la otra compañía. De forma que las nuevas carteras que se alcanzan son A' y B'.

Veamos ahora que el riesgo expresado por la desviación estándar no se comporta de forma lineal ya que la varianza es una medida cuadrática. Justo esta propiedad es la que justifica que el reaseguro o la diversificación hacen que el riesgo disminuya.

En el caso de la varianza:

Supongamos que hacemos que coincidan las dos desviaciones. En nuestro caso ambas σ serían 0,4.

De aquí, operando, se siguen estas expresiones:

Esta es la justificación formal de que es posible reducir el riesgo de una cartera mediante la diversificación o mediante el reaseguro con otra cartera con la que mantenga una reducida correlación.

Veamos el ejemplo numérico que hemos creado en Excel donde se obtiene precisamente que el nuevo riesgo de la cartera diversificada es igual al anterior dividido entre raíz de dos.

Simulación del número de pasajeros

Puede descargar el archivo: simulapasajeros.xlsx

Simulación de una Distribución Normal

Puede descargar el archivo: normalBoxMuller.xlsm

En Excel disponemos de una función de distribución que genera directamente valores ajustados a una distribución normal, pero en esta ocasión vamos a generarlos sin recurrir a las funciones de Excel. La denominada transformada de Box-Müller permite generar una distribución Normal. Para ello se utilizan dos distribuciones Uniformes [0;1], que en Excel se obtienen con la función:

=ALEATORIO()

La función es la siguiente:

=+RAIZ((-2*LN(ALEATORIO())))*SENO(2*PI()*ALEATORIO())

Enlace a la Wikipedia.

Podríamos programar una función que nos de una Normal de media mu y desviación típica sigma.

Código:

Function xNORMAL(mu, sigma)
Dim NORMAL01
Const Pi As Double = 3.14159265358979
Randomize
NORMAL01 = Sqr((-2 * LN(Rnd))) * Sin(2 * Pi * Rnd)
xNORMAL = mu + sigma * NORMAL01
End Function

Function LN(x)
LN = Log(x) / Log(Exp(1))
End Function

Por ejemplo, la función =xNORMAL(100;2) nos proporcionará un número aleatorio que se ajusta a una distribución normal de media 100 y desviación típica 2.