Interpolación

Descargar el fichero: interpolacion.xlsx

Disponemos de unos datos con los que hacemos un gráfico. Aún no siendo muchos datos Excel es capaz de realizar el gráfico de forma suavizada. ¿Cómo ha sido capaz Excel de inventarse los datos que faltan?. Ha sido algo increíble, Excel traza una curva con pocos datos y esa curva pasa exactamente por esos puntos, pero el resto de puntos se los inventa de una forma bastante adecuada, ¿cómo lo hace?. La respuesta está en la palabra: INTERPOLACIÓN.

Existen diferentes métodos para interpolar. Podemos ver lo que dice la Wikipedia para este tema. La interpolación más sencilla es la interpolación lineal.

Interpolación lineal

La interpolación lineal  parte de dos puntos y pretende establecer la línea recta que pasa por ambos puntos. De esta forma podremos determinar los puntos intermedios entre ambos puntos como los puntos que pertenecen a esa recta.

La ecuación de la recta es:

y=a+bx

siendo

• y la variable dependiente. Se representa en el eje de ordenadas, en vertical
• x la variable independiente. Se representa en el eje de abcisas, en horizontal
• a la constante de la recta. Es el punto de corte con el eje y
• b la pendiente de la recta

No es lo mismo Interpolar que calcular la recta de regresión o línea de tendencia. Cuando disponemos de una nube de puntos y efectuamos un ajuste por el método de los mínimos cuadrados no todos los puntos caen en la recta de regresión, salvo que estemos en un caso de correlación perfecta, donde R² es igual a 1.

Si únicamente disponemos de dos puntos (dos parejas de datos (x,y)) podemos calcular la recta de regresión y habremos obtenido una recta que pasa exactamente por esos dos puntos. Esa recta es la misma que hubiéramos obtenido si buscamos la recta de interpolación. Por tanto, en el caso de una recta, es lo mismo interpolar que ajustar por mínimos cuadrados cuando únicamente disponemos de dos puntos. La recta pasa justo por esos dos puntos y la correlación es perfecta, siendo R² igual a 1.

Esto lo podemos ver en la Hoja1 de nuestro fichero.

Hemos representado la recta utilizando los gráficos de tipo dispersión con líneas suavizadas y marcadores.

Sobre la recta obtenida hemos añadido una línea de tendencia.

La ventana que se abre nos permite añadir diferente líneas de tendencia:

• Exponencial
• Lineal
• Logarítmica
• Polinómica
• Potencial
• Media móvil

Elegiremos, para este caso, la lineal y al final de la ventana marcaremos las opciones:

• Presentar ecuación en el gráfico
• Presentar el valor R cuadrado en el gráfico

Observamos que R² es igual a 1 y que la ecuación de la recta es:

y=0,5x+1

Al tratarse únicamente de dos puntos en la nube de datos la recta pasa exactamente por ellos y el ajuste es perfecto (R²=1).

La ecuación de la recta se puede obtener con la siguientes funciones estadísticas.

• a es la constante =INTERSECCION.EJE(conocido_y;conocido_x)
• b es la pendiente =PENDIENTE(conocido_y;conocido_x)

Aunque estamos hablando de interpolación se ha de considerar que no estamos aplicando los clásicos métodos de interpolación. Lo que hacemos es efectuar un ajuste por el método de los mínimos cuadrados a una nube de datos que únicamente tiene dos puntos, por lo que necesariamente la recta de regresión que obtenemos pasa por esos dos puntos. Siendo la correlación perfecta podemos inferir que la recta de regresión coincide con la recta que obtendríamos mediante los métodos de interpolación lineal.

Interpolación Parabólica

Una parábola es un polinomio de grado 2, cuya ecuación es:

y=a+bx+cx²

En la Hoja2 de nuestro fichero podemos ver un caso en el que nos dan 3 puntos. Nuestra nube de puntos es pequeña y lo que pretendemos es encontrar la parábola que pasa justo por esos tres puntos. Si lo conseguimos habremos obtenido una interpolación parabólica.

Pulsando con el botón derecho del ratón sobre el gráfico (justo sobre la curva) obtenemos el menú contextual y elegimos Agregar línea de tendencia.

También marcamos abajo las opciones:

• Presentar ecuación en el gráfico
• Presentar el valor R cuadrado en el gráfico

Así veremos la ecuación de la parábola:

y también veremos el coeficiente de determinación que es R²=1, lo cual indica que estamos en un caso de correlación perfecta.

Observar que aunque aumentemos el grado del polinomio (lo que aquí Excel llama 'Ordenación') no por ello mejora el valor de R² ya que lo máximo que puede valer es 1.

La sorpresa es que al trazar Excel la parábola (línea negra) no coincide con la curva (línea azul), y ambas curvas pasan por los tres puntos. La respuesta es que existen muchas formas de interpolar y por lo que vemos Excel en la curva azul ha elegido otro método muy diferente del que nosotros estamos buscando. Nosotros queríamos una parábola y usando este sistema hemos obtenido la parábola, que es un polinomio de grado 2.

Si aumentamos el grado del polinomio en la ventana de las opciones de la línea de tendencia no cambia la curva ajustada y no mejora R² ya que al llegar a 1 ha llegado al máximo. R² igual a 1 indica que estamos ante un ajuste perfecto por lo que no se gana nada intentando aumentar el grado del polinomio.

Para calcular la ecuación de la parábola debemos determinar los valores de sus parámetros: a, b y c. Nos reservamos el método para más adelante, ya que lo aplicaremos para un caso de un polinomio de grado 4 y como es un método matricial es válido para cualquier grado.

A la vista del gráfico podemos observar la ecuación de la parábola:

y=a+bx+cx²

^{en nuestro caso es: y=1+0,5x-2x2}

Polinomio grado 3

En la Hoja3 de nuestro fichero pretendemos obtener el polinomio de interpolación que pasa por 4 parejas de datos.

La curva que obtenemos es la siguiente.

Nuevamente, observamos que pese a estar en el caso de correlación perfecta (R²=1) nuestro polinomio de grado 3 (color negro) no coincide con la curva del gráfico generada por Excel (color azul).

Polinomio grado 4

En la Hoja4 disponemos de 5 parejas de datos, con lo que podemos obtener un polinomio de grado 4.

Aquí también R²=1 ya que el polinomio pasa por todos los puntos.

Interpolación: determinación de la curva

En la Hoja5 vamos a estudiar un caso real. Nos proporcionan datos para construir dos curvas.

Por cada curva son cinco parejas de datos, por lo que el polinomio al que queremos llegar es de grado 4. Siempre el grado del polinomio es uno menos que el número de parejas de datos. Esto se debe a que para determinar un polinomio de grado 4 necesitamos determinar 5 parámetros:

y=a+bx+cx²+dx³+ex⁴

Los cinco parámetros a determinar son: a, b, c, d, e.

En lugar de usar esta terminología vamos a denotar a los parámetros así: a₀, a₁, a₂, a₃, a₄, a₅.

Por tanto el polinomio de grado 4 será este:

y=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴

Esta expresión se puede escribir de forma matricial y así es válida no solo para polinomios de grado 4 sino para polinomios de cualquier grado.

y=AX

Siendo A un vector fila con todos los parámetros del polinomio:
 a₀, a₁, a₂, a₃, a₄, ......, a_n.

Siendo X un vector columna con la variable x elevada a los diferentes grados:
 x⁰, x¹, x², x³, x⁴, ......, xⁿ.

Excel dispone de una función matricial que calcula todos los parámetros del vector A. La función que emplearemos es la siguiente:

{=+ESTIMACION.LINEAL(y;x^{1;2;3;4})}

Hemos añadido las llaves {} para indicar que es una función matricial, pero no debemos escribir nosotros esas llaves, ya que es Excel el que las pone al validar con CONTROL + MAYÚSCULAS + ENTER.

Creamos una tabla  para la Curva 1. En la zona amarilla escribimos nuestra función matricial.

=+ESTIMACION.LINEAL(Curva1;X^{1;2;3;4})

Previamente hemos nombrado los siguientes rangos.

Para la Curva 2 construimos una tabla similar.

En las celdas amarillas de esta segunda tabla escribimos la siguiente fórmula matricial:

=+ESTIMACION.LINEAL(Curva2;X^{1;2;3;4})

Los valores interpolados son los dados por la siguiente tabla. Establecemos el valor de x (color verde) y luego con SUMAPRODUCTO calculamos el valor y interpolado para cada curva.

Lo que estamos haciendo es una regresión múltiple donde las variables que usamos las hemos transformado para que sean los diferentes valores de la variable x elevados al grado necesario.

La correlación es perfecta. Se puede comprobar dando valores a x en la celda J20 y viendo que para los valores de la tabla original de datos los valores interpolados que se obtienen son los mismos que los de la tabla de datos.

Práctica

Usando este método puede intentar obtener el polinomio de grado 4 que interpola los datos de la Hoja4. Puede comprobar si lo ha realizado correctamente ya que en el gráfico se ve la ecuación del polinomio a la que ha de llegar.

Obtendrá los siguientes valores.

El polinomio obtenido es:

y=1+0,5x-2x²+0,3x³+0,2x⁴

Para facilitar el cálculo hemos dejado la tabla preparada con sus nombres de rango creados.

Falta introducir la fórmula matricial ESTIMACION.LINEAL que ha de introducirse en las celdas amarillas del rango E5:I5.

Para introducir una fórmula matricial ha de seguir tres pasos.


ESTIMACION.LINEAL es una fórmula matricial.
Como toda fórmula matricial requiere 3 pasos:
1. Seleccionar la zona amarilla (rango E5:I5)
2. Escibir la fórmula matricial
=+ESTIMACION.LINEAL(miY;miX^{1;2;3;4})
3. No pulse ENTER para validar.
     Debe pulsar las 3 teclas siguientes:
     CONTROL + MAYUSCULAS + ENTER